Упр.41.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=xv2+sin(x); 2) f(x)=x-cos(x); 3) y=cos(x)+xv3/2.

Найдём производные функций и исследуем их знак.

1. $$f(x)=x\sqrt{2}+\sin x$$

   $$f'(x)=\sqrt{2}+\cos x$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$f'(x)\ge \sqrt{2}-1>0.$$

   Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

2. $$f(x)=x-\cos x$$

   $$f'(x)=1+\sin x$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$f'(x)\ge 0.$$

   Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.

3. $$y=\cos x+\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

   $$y’=-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Найдём, где производная неотрицательна:

   $$-\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 0 \iff \sin x\le \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Это выполняется при

   $$x\in \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup \left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Тогда функция возрастает на промежутках

   $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup \left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z},$$

   а убывает на промежутках

   $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) Возрастает на $$\mathbb{R}.$$

2) Возрастает на $$\mathbb{R}.$$

3) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup \left[\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z};$$ убывает на $$\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb{Z}.$$