Упр.41.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=10x^3-9x^2+24x-90; 2) f(x)=sin(x)+x^3+x.

1) Найдём производную функции:

$$f(x)=10x^3-9x^2+24x-90$$

$$f'(x)=30x^2-18x+24=6(5x^2-3x+4)$$

Исследуем квадратный трёхчлен:

$$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot 4=9-80=-71<0$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$5x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$. Значит,

$$f'(x)>0$$

для всех $$x$$, следовательно, функция возрастает.

2) Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin x+x^3+x$$

$$f'(x)=\cos x+3x^2+1$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то

$$\cos x+1\ge 0$$

и при этом $$3x^2\ge 0$$. Поэтому

$$f'(x)=\cos x+3x^2+1\ge 0$$

для всех $$x$$, а значит, функция является возрастающей.

Ответ

1) $$f(x)=10x^3-9x^2+24x-90$$ — возрастающая;
2) $$f(x)=\sin x+x^3+x$$ — возрастающая.