Упр.41.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=6-x+1/2 x^2-1/3 x^3; f(x)=sin(2x)-3x.

1) Найдём производную функции:

$$f(x)=6-x+\frac12x^2-\frac13x^3$$

$$f'(x)=0-1+\frac12\cdot 2x-\frac13\cdot 3x^2=-1+x-x^2$$

Преобразуем:

$$f'(x)=-(x^2-x+1)$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2-x+1$$. Его дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-x+1>0$$ при всех $$x$$. Значит,

$$f'(x)<0$$

при всех $$x$$, следовательно, функция убывает.

2) Найдём производную функции:

$$f(x)=\sin 2x-3x$$

$$f'(x)=2\cos 2x-3$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1$$, то

$$-2\le 2\cos 2x\le 2$$

Тогда

$$2\cos 2x-3\le 2-3=-1<0$$

Следовательно, $$f'(x)<0$$ при всех $$x$$, значит, функция убывает.

Ответ

Обе функции убывающие.