Упр.41.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1) $$f(x)=2x^3-3x^2+1$$; 3) $$f(x)=x^4-2x^2-3$$; 2) $$f(x)=-x^3+9x^2+21x$$; 4) $$f(x)=x^3+4x-8$$.

1) Найдём производную:

$$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1).$$

Решаем неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$6x(x-1)\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x(x-1)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0]\cup[1;+\infty).$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1].$$

2) Найдём производную:

$$f'(x)=-3x^2+18x+21.$$

Решаем неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$-3x^2+18x+21\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2-6x-7\le 0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2-6x-7=0$$:

$$D=36+28=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2},\quad x_1=-1,\; x_2=7.$$

Тогда

$$x\in[-1;7].$$

Следовательно, функция возрастает на $$[-1;7],$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[7;+\infty).$$

3) Найдём производную:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Решаем неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

$$x(x-1)(x+1)\ge 0.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$x\in[-1;0]\cup[1;+\infty).$$

Значит, функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$

4) Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2+4.$$

Так как $$3x^2+4>0$$ при любом $$x\in\mathbb R,$$ то функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ:

1) возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1]$$;

2) возрастает на $$[-1;7],$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)$$;

3) возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$;

4) возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$