Упр.41.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=2x^3-3x^2+1; 3) f(x)=x^4-2x^2-3;
2) f(x)=-x^3+9x^2+21x; 4) f(x)=x^3+4x-8.

1. $$f(x)=2x^3-3x^2+1$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$$

   Исследуем знак производной:

   $$6x(x-1)\ge 0 \iff x\le 0 \text{ или } x\ge 1$$

   Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, а убывает на $$[0;1]$$.

2. $$f(x)=-x^3+9x^2+21x$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-3x^2+18x+21$$

   Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

   $$-3x^2+18x+21\ge 0$$

   $$x^2-6x-7\le 0$$

   $$x^2-6x-7=(x+1)(x-7)$$

   Тогда

   $$-1\le x\le 7$$

   Следовательно, функция возрастает на $$[-1;7]$$, а убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[7;+\infty)$$.

3. $$f(x)=x^4-2x^2-3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

   Решим неравенство $$f'(x)\ge 0$$:

   $$4x(x-1)(x+1)\ge 0$$

   Отсюда функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, а убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$.

4. $$f(x)=x^3+4x-8$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2+4$$

   Так как $$3x^2+4>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

1) возрастает на $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[0;1]$$;

2) возрастает на $$[-1;7]$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[7;+\infty)$$;

3) возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$;

4) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.