Упр.40.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^2-7x+3, ?=45°; 3) f(x)=v(3x+2), ?=45°;
2) f(x)=-3x^2+2v3x-2, ?=60°; 4) f(x)=(x+7)/(x-2), ?=135°.

1. Угол наклона касательной $$\alpha=45^\circ$$, значит её угловой коэффициент

   $$k=\tan 45^\circ=1.$$

   Для функции $$f(x)=x^2-7x+3$$ найдём производную:

   $$f'(x)=2x-7.$$

   Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

   $$2x-7=1,$$

   $$2x=8,$$

   $$x=4.$$

   Найдём ординату точки:

   $$f(4)=4^2-7\cdot 4+3=16-28+3=-9.$$

   Искомая точка: $$\left(4;\,-9\right).$$

2. $$\alpha=60^\circ,\quad k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

   Для функции $$f(x)=-3x^2+2\sqrt{3}\,x-2$$ имеем

   $$f'(x)=-6x+2\sqrt{3}.$$

   Приравниваем:

   $$-6x+2\sqrt{3}=\sqrt{3},$$

   $$-6x=-\sqrt{3},$$

   $$x=\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

   Найдём значение функции в этой точке:

   $$f\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)=-3\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2+2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{6}-2$$

   $$=-3\cdot \frac{1}{12}+\frac{6}{6}-2=-\frac14+1-2=-\frac54.$$

   Искомая точка: $$\left(\frac{\sqrt{3}}{6};\,-\frac54\right).$$

3. $$\alpha=45^\circ,\quad k=\tan 45^\circ=1.$$

   Для функции $$f(x)=\sqrt{3x+2}$$ найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}.$$

   Приравниваем к 1:

   $$\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}=1,$$

   $$2\sqrt{3x+2}=3,$$

   $$\sqrt{3x+2}=\frac32,$$

   $$3x+2=\frac94,$$

   $$3x=\frac14,$$

   $$x=\frac{1}{12}.$$

   Тогда

   $$f\left(\frac{1}{12}\right)=\sqrt{3\cdot \frac{1}{12}+2}=\sqrt{\frac14+2}=\sqrt{\frac94}=\frac32.$$

   Искомая точка: $$\left(\frac{1}{12};\,\frac32\right).$$

4. $$\alpha=135^\circ,\quad k=\tan 135^\circ=-1.$$

   Для функции $$f(x)=\frac{x+7}{x-2}$$ найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(x-2)-(x+7)}{(x-2)^2}=\frac{-9}{(x-2)^2}.$$

   Приравниваем:

   $$\frac{-9}{(x-2)^2}=-1,$$

   $$ (x-2)^2=9,$$

   $$x-2=\pm 3,$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=5.$$

   Найдём соответствующие значения функции:

   $$f(-1)=\frac{-1+7}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2,$$

   $$f(5)=\frac{5+7}{5-2}=\frac{12}{3}=4.$$

   Искомые точки: $$(-1;\,-2)$$ и $$\left(5;\,4\right).$$

Ответ

1) $$\left(4;\,-9\right)$$; 2) $$\left(\frac{\sqrt{3}}{6};\,-\frac54\right)$$; 3) $$\left(\frac{1}{12};\,\frac32\right)$$; 4) $$(-1;\,-2),\ \left(5;\,4\right).$$