Упр.40.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.8. В каких точках касательные к графику функции y=1/x параллельны прямой y=-x?

Найдём производную функции $$y=\frac{1}{x}$$:

$$y'(x)=-\frac{1}{x^2}.$$

Касательная параллельна прямой $$y=-x$$, если их угловые коэффициенты равны. У прямой $$y=-x$$ коэффициент наклона равен $$-1$$, значит, нужно решить уравнение

$$-\frac{1}{x^2}=-1.$$

Отсюда

$$\frac{1}{x^2}=1,$$

$$x^2=1,$$

$$x=\pm 1.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$y(1)=\frac{1}{1}=1,$$

$$y(-1)=\frac{1}{-1}=-1.$$

Следовательно, искомые точки: $$(-1;\,-1)$$ и $$ (1;\,1).$$

Ответ

$${(-1;\,-1),\ (1;\,1)}$$