Упр.40.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=(x-1)/(x^2+1); 2) f(x)=3x-x^2.

1. $$f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$$

   Найдём точку пересечения графика с осью абсцисс:

   $$\frac{x-1}{x^2+1}=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1.$$

   Тогда точка касания: $$\left(1,0\right).$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(x^2+1)\cdot 1-(x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}.$$

   Подставим $$x=1$$:

   $$f'(1)=\frac{1+1-2\cdot 1\cdot (1-1)}{(1+1)^2}=\frac{2}{4}=\frac12.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=\frac12(x-1)+0=\frac12x-\frac12.$$

2. $$f(x)=3x-x^2$$

   Найдём точки пересечения с осью абсцисс:

   $$3x-x^2=0 \Rightarrow x(3-x)=0 \Rightarrow x_1=0,\; x_2=3.$$

   Производная:

   $$f'(x)=3-2x.$$

   В точке $$x=0$$:

   $$f'(0)=3,\qquad y=3(x-0)+0=3x.$$

   В точке $$x=3$$:

   $$f'(3)=3-6=-3,\qquad y=-3(x-3)=9-3x.$$

Ответ

1) $$y=\frac12x-\frac12$$;

2) $$y=3x$$ и $$y=9-3x$$.