Упр.40 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) {x^(1/6)-y^(1/6)=1, vx-vy=7};
2) {v((3x-2y)/(2x))+v(2x/(3x-2y))=2, x^2-8y^2=18-18y}.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}=1,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=7. \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем
$$\sqrt[6]{y}=\sqrt[6]{x}-1,$$
где $$x\ge 0,\ y\ge 0.$$
Возведём в куб:
$$\sqrt{y}=\left(\sqrt[6]{x}-1\right)^3.$$
Тогда второе уравнение можно записать так:
$$ \left(\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}\right)=7. $$
Подставим $$\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}=1$$:
$$ \sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}\left(\sqrt[6]{x}-1\right)+\left(\sqrt[6]{x}-1\right)^2=7. $$
Обозначим $$z=\sqrt[6]{x}$$. Тогда
$$ z^2+z(z-1)+(z-1)^2=7, $$
$$ 3z^2-3z-6=0, $$
$$ z^2-z-2=0. $$
Отсюда
$$ (z-2)(z+1)=0. $$
Так как $$z\ge 0$$, то $$z=2$$.
Тогда
$$ \sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64, $$
а из первого уравнения
$$ \sqrt[6]{y}=2-1=1 \Rightarrow y=1. $$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} \sqrt{\dfrac{3x-2y}{2x}}+\sqrt{\dfrac{2x}{3x-2y}}=2,\\ x^2-8y^2=18-18y. \end{cases}$$
Обозначим
$$ z=\sqrt{\dfrac{3x-2y}{2x}}. $$
Тогда
$$ z+\frac{1}{z}=2. $$
Умножим на $$z$$:
$$ z^2-2z+1=0, $$
$$ (z-1)^2=0. $$
Значит,
$$ z=1. $$
Следовательно,
$$ \frac{3x-2y}{2x}=1, $$
откуда
$$ 3x-2y=2x,\qquad x=2y. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ (2y)^2-8y^2=18-18y, $$
$$ 4y^2-8y^2=18-18y, $$
$$ 2y^2-9y+9=0. $$
Решим квадратное уравнение:
$$ D=9^2-4\cdot 2\cdot 9=81-72=9, $$
$$ y_{1,2}=\frac{9\pm 3}{4}. $$
Тогда
$$ y_1=\frac{3}{2},\qquad y_2=3. $$
Из условия $$x=2y$$ получаем
$$ x_1=3,\qquad x_2=6. $$