Упр.40.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.32. Найдите уравнение общей касательной к графикам функций f(x)=x^2+4x+8 и g(x)=x^2+8x+4.

Пусть общая касательная к графикам функций $$f(x)=x^2+4x+8$$ и $$g(x)=x^2+8x+4$$ имеет вид $$y=kx+b.$$

Тогда уравнения касательных к параболам в точках касания можно записать так:

$$f'(x)=2x+4,\qquad g'(x)=2x+8.$$

Пусть касание с графиком $$f(x)$$ происходит в точке $$x=a,$$ а с графиком $$g(x)$$ — в точке $$x=b.$$ Тогда

$$y=(2a+4)(x-a)+a^2+4a+8,$$
$$y=(2b+8)(x-b)+b^2+8b+4.$$

Упростим:

$$y=2ax+4x-a^2+8,$$
$$y=2bx+8x-b^2+4.$$

Так как это одна и та же прямая, приравняем коэффициенты при $$x$$ и свободные члены:

$$2a+4=2b+8,$$
$$-a^2+8=-b^2+4.$$

Из первого уравнения:

$$a=b+2.$$

Подставим во второе:

$$(b+2)^2=b^2+4,$$
$$b^2+4b+4=b^2+4,$$
$$4b=0,$$
$$b=0.$$

Тогда

$$a=2.$$

Подставим в уравнение касательной:

$$y=2bx+8x-b^2+4=8x+4.$$

Ответ

$$y=8x+4$$