Упр.40.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.31. Найдите уравнение общей касательной к графикам функций f(x)=x^2-2x+5 и g(x)=x^2+2x-11.

Пусть общая касательная к графику функции $$f(x)=x^2-2x+5$$ касается его в точке с абсциссой $$a$$, а к графику функции $$g(x)=x^2+2x-11$$ — в точке с абсциссой $$b$$.

Тогда

$$f'(x)=2x-2,\qquad g'(x)=2x+2.$$

Уравнения касательных:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)=(2a-2)(x-a)+a^2-2a+5,$$
$$y=g'(b)(x-b)+g(b)=(2b+2)(x-b)+b^2+2b-11.$$

Упростим:

$$y=(2a-2)x-a^2+5,$$
$$y=(2b+2)x-b^2-11.$$

Так как касательная общая, коэффициенты при $$x$$ и свободные члены равны:

$$2a-2=2b+2,$$
$$-a^2+5=-b^2-11.$$

Из первого уравнения:

$$a=b+2.$$

Подставим во второе:

$$(b+2)^2=b^2+16,$$
$$b^2+4b+4=b^2+16,$$
$$4b=12,$$
$$b=3.$$

Тогда

$$a=5.$$

Найдём уравнение касательной:

$$y=(2a-2)x-a^2+5=8x-20.$$

Ответ

$$y=8x-20$$