Упр.40.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.30. При каких значениях а прямая y=2x+a является касательной к графику функции f(x)=v(4x-1)?

Чтобы прямая $$y=2x+a$$ была касательной к графику функции $$f(x)=\sqrt{4x-1},$$ их угловые коэффициенты должны совпадать.

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x-1}}=\frac{2}{\sqrt{4x-1}}.$$

Для точки касания $$x_0$$ имеем:

$$f'(x_0)=2.$$

Тогда

$$\frac{2}{\sqrt{4x_0-1}}=2,$$

$$\frac{1}{\sqrt{4x_0-1}}=1,$$

$$\sqrt{4x_0-1}=1,$$

$$4x_0-1=1,$$

$$4x_0=2,$$

$$x_0=\frac12.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\left(\frac12\right)=\sqrt{4\cdot\frac12-1}=\sqrt{1}=1.$$

Уравнение касательной в точке $$\left(\frac12,1\right)$$:

$$y=2\left(x-\frac12\right)+1=2x.$$

Сравнивая с $$y=2x+a,$$ получаем $$a=0.$$

Ответ

$$0$$