Упр.40.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ прямая $$y=ax+1$$ является касательной к графику функции $$f(x)=v(4x+1)$$?

Пусть прямая $$y=ax+1$$ касается графика функции $$f(x)=\sqrt{4x+1}.$$ Тогда в точке касания их значения и угловые коэффициенты совпадают.

Найдём производную функции:

$$f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}.$$

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0.$$ Тогда

$$a=f'(x_0)=\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}.$$

Уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0$$:

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

Подставим $$f(x_0)=\sqrt{4x_0+1}$$ и $$f'(x_0)=\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}$$:

$$y=\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}(x-x_0)+\sqrt{4x_0+1}.$$

Преобразуем:

$$y=\frac{2x-2x_0+4x_0+1}{\sqrt{4x_0+1}}=\frac{2x+2x_0+1}{\sqrt{4x_0+1}}.$$

Так как эта прямая совпадает с $$y=ax+1,$$ то свободный член равен $$1$$:

$$\frac{2x_0+1}{\sqrt{4x_0+1}}=1.$$

Отсюда

$$2x_0+1=\sqrt{4x_0+1}.$$

Возведём в квадрат:

$$\begin{aligned} (2x_0+1)^2&=4x_0+1,\\ 4x_0^2+4x_0+1&=4x_0+1,\\ 4x_0^2&=0,\\ x_0&=0. \end{aligned}$$

Тогда

$$a=f'(0)=\frac{2}{\sqrt{1}}=2.$$

Ответ: $$2$$.