Упр.40.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.29. При каких значениях a прямая y=ax+1 является касательной к графику функции f(x)=v(4x+1)?

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{4x+1}.$$

$$f'(x)=\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}.$$

Пусть прямая $$y=ax+1$$ касается графика функции в точке с абсциссой $$x_0$$. Тогда угловой коэффициент касательной равен производной в этой точке:

$$a=f'(x_0)=\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}.$$

Кроме того, точка касания принадлежит и графику функции, и прямой, значит

$$\sqrt{4x_0+1}=ax_0+1.$$

Подставим $$a=\frac{2}{\sqrt{4x_0+1}}$$ в уравнение касания:

$$\sqrt{4x_0+1}=\frac{2x_0}{\sqrt{4x_0+1}}+1.$$

Умножим на $$\sqrt{4x_0+1}$$:

$$4x_0+1=2x_0+\sqrt{4x_0+1}.$$

Обозначим $$t=\sqrt{4x_0+1}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$4x_0+1=t^2$$. Из равенства выше получаем

$$t^2=2x_0+t.$$

Но из $$t^2=4x_0+1$$ имеем $$x_0=\frac{t^2-1}{4}$$. Подставим:

$$t^2=\frac{t^2-1}{2}+t.$$

$$2t^2=t^2-1+2t$$

$$t^2-2t+1=0$$

$$\left(t-1\right)^2=0,$$

откуда $$t=1.$$ Тогда

$$a=\frac{2}{t}=2.$$

Ответ

$$2$$