Упр.40.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.28. Две перпендикулярные касательные к графику функции y=1/2 x^2-5/2 пересекаются в точке А, которая принадлежит оси ординат. Найдите координаты точки A.

Пусть касательные проведены в точках с абсциссами $$x=a$$ и $$x=b$$. Тогда для функции

$$y=\frac12x^2-\frac52$$

производная равна

$$y’=x,$$

значит, угловые коэффициенты касательных в этих точках равны $$a$$ и $$b$$.

Условие перпендикулярности касательных даёт

$$ab=-1.$$

Уравнение касательной к графику в точке $$x=a$$:

$$ y=\frac12a^2-\frac52+a(x-a)=ax-\frac12a^2-\frac52. $$

Так как точка пересечения касательных лежит на оси ординат, её абсцисса равна $$0$$. Подставим $$x=0$$ в уравнение касательной:

$$y=-\frac12a^2-\frac52.$$

Аналогично для второй касательной:

$$y=-\frac12b^2-\frac52.$$

Поскольку обе касательные проходят через одну и ту же точку на оси ординат, их ординаты при $$x=0$$ равны:

$$-\frac12a^2-\frac52=-\frac12b^2-\frac52,$$

откуда

$$a^2=b^2.$$

Значит, $$b=\pm a$$. С учётом $$ab=-1$$ получаем

$$b=-a,\qquad -a^2=-1,\qquad a^2=1.$$

Тогда

$$a=\pm1.$$

Найдём ординату точки пересечения:

$$y=-\frac12\cdot1-\frac52=-3.$$

Ответ

$$A(0;\,-3)$$