Упр.40.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.27. Две перпендикулярные касательные к графику функции f(x)=3-1/2 x^2 пересекаются в точке A, которая принадлежит оси ординат. Найдите координаты точки A.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=3-\frac12x^2$$ в точке с абсциссой $$a$$.

Производная:

$$f'(x)=-x,$$

значит, угловой коэффициент касательной в точке $$x=a$$ равен $$-a$$.

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=3-\frac12a^2-a(x-a).$$

Упростим:

$$y=\frac12a^2+3-ax.$$

Так как две касательные перпендикулярны, их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

$$(-a)\cdot\left(-\frac1a\right)=-1,$$

откуда

$$a^2=1.$$

Тогда точка пересечения касательных лежит на оси ординат, то есть при $$x=0$$. Подставим:

$$y(0)=\frac12a^2+3=\frac12\cdot1+3=\frac72=3{,}5.$$

Следовательно, точка пересечения касательных:

$$A(0;\,3{,}5).$$

Ответ

$$A(0;\,3{,}5)$$