Упр.40.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.26. В какой точке графика функции f(x)=(4x-1)/x надо провести касательную, чтобы эта касательная проходила через начало координат?

Запишем функцию в удобном виде:

$$f(x)=\frac{4x-1}{x}=4-\frac{1}{x}.$$

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда

$$f(a)=4-\frac{1}{a}, \qquad f'(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad f'(a)=\frac{1}{a^2}.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$

Так как касательная проходит через начало координат $$O(0;0)$$, подставим $$x=0$$ и $$y=0$$:

$$0=\frac{1}{a^2}(0-a)+4-\frac{1}{a}.$$

Упростим:

$$0=-\frac{1}{a}+4-\frac{1}{a}=4-\frac{2}{a}.$$

Отсюда

$$\frac{2}{a}=4, \qquad a=\frac{1}{2}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=4-\frac{1}{1/2}=4-2=2.$$

Точка касания: $$\left(\frac{1}{2};\,2\right).$$

Ответ

$$\left(\frac{1}{2};\,2\right)$$