Упр.40.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.25. Запишите уравнение касательной к графику функции f(x)=2x^2+2, если эта касательная проходит через точку M(0; 1).

Пусть касательная к графику функции $$f(x)=2x^2+2$$ проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда

$$f'(x)=4x,\qquad f'(a)=4a,$$

а уравнение касательной имеет вид

$$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$

Подставим $$f(a)=2a^2+2$$:

$$y=4a(x-a)+2a^2+2=4ax-2a^2+2.$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;1)$$, подставим её координаты в уравнение:

$$1=4a\cdot 0-2a^2+2,$$

$$2a^2=1,$$

$$a^2=\frac12,\qquad a=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Найдём соответствующие уравнения касательных:

при $$a=\frac{\sqrt2}{2}$$

$$y=4\cdot \frac{\sqrt2}{2}x-2\cdot \frac12+2=2\sqrt2\,x+1;$$

при $$a=-\frac{\sqrt2}{2}$$

$$y=4\cdot \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)x-2\cdot \frac12+2=-2\sqrt2\,x+1.$$

Ответ

$$y=2\sqrt2\,x+1;\quad y=-2\sqrt2\,x+1.$$