Упр.40.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.24. При каких значениях а и b прямая y=7x-2 касается параболы y=ax^2+bx+1 в точке A(1; 5)?

Пусть $$f(x)=ax^2+bx+1$$ — парабола. Так как прямая $$y=7x-2$$ касается её в точке $$A(1;5)$$, то выполняются два условия:

1. точка $$A(1;5)$$ принадлежит параболе;
2. угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания.

1) Подставим координаты точки $$A(1;5)$$ в уравнение параболы:

$$a\cdot 1^2+b\cdot 1+1=5$$

$$a+b=4.$$

2) Найдём производную:

$$f'(x)=2ax+b.$$

Так как касательная имеет уравнение $$y=7x-2$$, её угловой коэффициент равен $$7$$. Значит,

$$f'(1)=7,$$

то есть

$$2a+b=7.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} a+b=4,\\ 2a+b=7. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$a=3.$$

Тогда

$$b=4-3=1.$$

Ответ

$$a=3,\quad b=1.$$