Упр.40.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.23. При каких значениях b и c парабола y=x^2+bx+c касается прямой y=4x+1 в точке с абсциссой x_0=1?

Пусть $$f(x)=x^2+bx+c.$$

Так как прямая $$y=4x+1$$ касается параболы в точке с абсциссой $$x_0=1,$$ то в этой точке совпадают и значения функции, и угловые коэффициенты касательной.

Найдём производную:

$$f'(x)=2x+b.$$

Тогда из условия касания получаем:

$$f'(1)=4,$$

$$2\cdot 1+b=4,$$

$$b=2.$$

Теперь используем то, что точка касания лежит и на параболе, и на прямой. При $$x=1$$ значение прямой равно:

$$y=4\cdot 1+1=5.$$

Следовательно,

$$f(1)=5,$$

$$1^2+2\cdot 1+c=5,$$

$$3+c=5,$$

$$c=2.$$

Ответ

$$b=2,\ c=2.$$