Упр.40.21 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.21. На графике функции f(x)=-v(2x+1) найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой y-2x+1=0.

Прямая $$y-2x+1=0$$ имеет вид $$y=2x-1$$, значит её угловой коэффициент равен $$2$$. Тогда угловой коэффициент касательной, перпендикулярной этой прямой, равен

$$k=-\frac{1}{2}.$$

Функция задана формулой

$$f(x)=-\sqrt{2x+1}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.$$

Так как касательная должна иметь угловой коэффициент $$-\frac{1}{2}$$, приравняем производную к этому числу:

$$-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$\sqrt{2x+1}=2,$$

$$2x+1=4,$$

$$2x=3,$$

$$x=\frac{3}{2}.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\left(\frac{3}{2}\right)=-\sqrt{2\cdot \frac{3}{2}+1}=-\sqrt{4}=-2.$$

Искомая точка:

$$\left(\frac{3}{2};-2\right).$$

Ответ

$$\left(\frac{3}{2};-2\right)$$