Упр.40.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.20. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f(x)=x^3+x^2-6x+1 в точке с абсциссой x_0=1.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=x^3+x^2-6x+1$$ в точке с абсциссой $$x_0=1$$.

Производная:

$$f'(x)=3x^2+2x-6.$$

Тогда

$$f'(1)=3\cdot 1^2+2\cdot 1-6=3+2-6=-1,$$

$$f(1)=1^3+1^2-6\cdot 1+1=1+1-6+1=-3.$$

Уравнение касательной:

$$y=f'(1)(x-1)+f(1),$$

$$y=-1(x-1)-3=-x-2.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем

$$y=-0-2=-2.$$

С осью $$Ox$$: при $$y=0$$

$$-x-2=0,$$

$$x=-2.$$

Треугольник, образованный осями координат и касательной, имеет катеты длиной $$2$$ и $$2$$. Тогда его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 2\cdot 2=2.$$

Ответ

$$2$$