Упр.40 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   
   1) $$\begin{cases}\sqrt[6]{x}-\sqrt[6]{y}=1,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=7;\end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases}\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}+\sqrt{\frac{2x}{3x-2y}}=2,\\ x^2-8y^2=18-18y.\end{cases}$$

1) Обозначим $$z=\sqrt[6]{x}$$ и $$t=\sqrt[6]{y}.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} z-t=1,\\ zt=7. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$t=z-1.$$ Подставим во второе:

$$z(z-1)=7$$

$$z^2-z-7=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+28=29,$$

$$z=\frac{1\pm\sqrt{29}}{2}.$$

Так как $$z=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ подходит только

$$z=\frac{1+\sqrt{29}}{2}.$$

Тогда

$$t=z-1=\frac{\sqrt{29}-1}{2}.$$

Следовательно,

$$x=z^6=\left(\frac{1+\sqrt{29}}{2}\right)^6,\qquad y=t^6=\left(\frac{\sqrt{29}-1}{2}\right)^6.$$

2) Обозначим

$$z=\sqrt{\frac{3x-2y}{2x}}.$$

Тогда из первого уравнения системы получаем

$$z+\frac{1}{z}=2.$$

Умножим на $$z$$:

$$z^2-2z+1=0,$$

$$(z-1)^2=0,$$

откуда $$z=1.$$ Значит,

$$\frac{3x-2y}{2x}=1,$$

$$3x-2y=2x,$$

$$x=2y.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-8y^2=18-18y$$

$$(2y)^2-8y^2=18-18y$$

$$-4y^2=18-18y$$

$$2y^2-9y+9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=81-72=9,$$

$$y=\frac{9\pm 3}{4}.$$

Получаем

$$y_1=\frac{3}{2},\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$x_1=2y_1=3,\qquad x_2=2y_2=6.$$

Проверка области определения выполнена: значения подходят.

Ответ

1) $$\left(\left(\frac{1+\sqrt{29}}{2}\right)^6;\left(\frac{\sqrt{29}-1}{2}\right)^6\right)$$

2) $$(3;\tfrac{3}{2}),\ (6;3).$$