Упр.40.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=2x^3-3x, x_0=1; 3) f(x)=v(4x^2+3x), x_0=-1;
2) f(x)=cos(x), x_0=?/2; 4) f(x)=(x^2-4x)/(x-2), x_0=3.

1. Для касательной используем формулу $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

   1) $$f(x)=2x^3-3x,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=6x^2-3,$$
   $$f'(1)=6\cdot 1^2-3=3,$$
   $$f(1)=2\cdot 1^3-3\cdot 1=2-3=-1.$$

   $$y=3(x-1)-1=3x-4.$$

2. 2) $$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   $$f'(x)=-\sin x,$$
   $$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1,$$
   $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

   $$y=-1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)= -x+\frac{\pi}{2}.$$

3. 3) $$f(x)=\sqrt{4x^2+3x},\quad x_0=-1.$$

   $$f'(x)=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x}},$$
   $$f'(-1)=\frac{8\cdot(-1)+3}{2\sqrt{4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)}}=\frac{-5}{2\sqrt{1}}=-\frac{5}{2},$$
   $$f(-1)=\sqrt{4\cdot 1-3}=1.$$

   $$y=-\frac{5}{2}(x+1)+1=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}.$$

4. 4) $$f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2},\quad x_0=3.$$

   $$f'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x)}{(x-2)^2},$$
   $$f'(x)=\frac{2x^2-8x+8-x^2+4x}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+8}{(x-2)^2}.$$

   $$f'(3)=\frac{3^2-4\cdot 3+8}{(3-2)^2}=5,$$
   $$f(3)=\frac{3^2-4\cdot 3}{3-2}=-3.$$

   $$y=5(x-3)-3=5x-18.$$

Ответ

1) $$y=3x-4$$;
2) $$y=-x+\frac{\pi}{2}$$;
3) $$y=-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$$;
4) $$y=5x-18$$.