Упр.40.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение касательной к графику функции \(f\) в точке с абсциссой \(x_0\), если:
   1) $$f(x)=2x^3-3x,\quad x_0=1;$$
   3) $$f(x)=v(4x^2+3x),\quad x_0=-1;$$
   2) $$f(x)=\cos(x),\quad x_0=\frac{?}{2};$$
   4) $$f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2},\quad x_0=3.$$

Найдём уравнение касательной по формуле $$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$

1. $$f(x)=2x^3-3x,\quad x_0=1.$$

   $$f'(x)=6x^2-3,$$

   $$f'(1)=6\cdot 1^2-3=3,$$

   $$f(1)=2\cdot 1^3-3\cdot 1=2-3=-1.$$

   Тогда

   $$y=3(x-1)-1=3x-4.$$

2. $$f(x)=\cos x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   $$f'(x)=-\sin x,$$

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sin\frac{\pi}{2}=-1,$$

   $$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

   Тогда

   $$y=-1\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+0=-x+\frac{\pi}{2}.$$

3. $$f(x)=\sqrt{4x^2+3x},\quad x_0=-1.$$

   $$f'(x)=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x}},$$

   $$f'(-1)=\frac{8\cdot(-1)+3}{2\sqrt{4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)}}=\frac{-5}{2\sqrt{1}}=-\frac52,$$

   $$f(-1)=\sqrt{4\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)}=\sqrt{4-3}=1.$$

   Тогда

   $$y=-\frac52(x+1)+1=-\frac52x-\frac32.$$

4. $$f(x)=\frac{x^2-4x}{x-2},\quad x_0=3.$$

   $$f'(x)=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x)}{(x-2)^2},$$

   $$f'(x)=\frac{2x^2-8x+8-x^2+4x}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x+8}{(x-2)^2},$$

   $$f'(3)=\frac{3^2-4\cdot 3+8}{(3-2)^2}=5,$$

   $$f(3)=\frac{3^2-4\cdot 3}{3-2}=-3.$$

   Тогда

   $$y=5(x-3)-3=5x-18.$$

Ответ: 1) $$y=3x-4$$; 2) $$y=-x+\frac{\pi}{2}$$; 3) $$y=-\frac52x-\frac32$$; 4) $$y=5x-18$$.