Упр.40.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.19. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f(x)=x^2-4 в точке с абсциссой x_0=-2.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$f(x)=x^2-4$$ в точке с абсциссой $$x_0=-2$$.

Производная функции:

$$f'(x)=2x,$$

тогда

$$f'(-2)=2\cdot(-2)=-4.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(-2)=(-2)^2-4=4-4=0.$$

Уравнение касательной:

$$y-0=-4(x+2),$$

откуда

$$y=-4x-8.$$

Найдём точки пересечения касательной с осями координат.

С осью $$Oy$$: при $$x=0$$ получаем

$$y=-8.$$

С осью $$Ox$$: при $$y=0$$

$$-4x-8=0,$$

$$x=2.$$

Треугольник, образованный осями координат и касательной, имеет катеты длиной $$2$$ и $$8$$. Тогда его площадь равна

$$S=\frac12\cdot 2\cdot 8=8.$$

Ответ

$$8$$