Упр.40.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.18. Определите, является ли прямая y=x касательной к графику функции y=sin(x). В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Проверим, является ли прямая $$y=x$$ касательной к графику функции $$y=\sin x$$.

Для касания в точке $$x_0$$ должны выполняться условия:

$$\sin x_0=x_0$$ и $$\cos x_0=1,$$

так как угловой коэффициент касательной к графику $$y=\sin x$$ равен $$f'(x)=\cos x,$ а у прямой $$y=x$$ он равен $$1$$.

Из уравнения $$\cos x_0=1$$ получаем

$$x_0=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Подставим это в уравнение пересечения:

$$\sin(2\pi n)=0,$$

а значит, для касания нужно, чтобы

$$x_0=0.$$

Проверим: при $$x_0=0$$ имеем $$\sin 0=0,$$ и касательная к графику $$y=\sin x$$ в этой точке имеет вид

$$y=\sin 0+\cos 0\,(x-0)=x.$$

Следовательно, прямая $$y=x$$ является касательной к графику функции $$y=\sin x$$ в точке с абсциссой $$0$$.

Ответ

Да, является; $$x_0=0$$.