Упр.40.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.17. Определите, является ли прямая y=12x-10 касательной к графику функции f(x)=4x^3. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.

Найдём производную функции $$f(x)=4x^3$$:

$$f'(x)=12x^2.$$

Если прямая $$y=12x-10$$ является касательной к графику функции, то её угловой коэффициент должен совпадать со значением производной в точке касания:

$$12x^2=12.$$

Отсюда

$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$

Проверим, проходят ли касательные с таким наклоном через данную прямую.

При $$x=1$$:

$$f(1)=4\cdot 1^3=4,$$

уравнение касательной:

$$y=12(x-1)+4=12x-8.$$

При $$x=-1$$:

$$f(-1)=4\cdot(-1)^3=-4,$$

уравнение касательной:

$$y=12(x+1)-4=12x+8.$$

Ни одна из полученных касательных не совпадает с прямой $$y=12x-10$$.

Ответ

Нет, прямая $$y=12x-10$$ не является касательной к графику функции $$f(x)=4x^3$$.