Упр.40.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=3x^2+5x+3, если эта касательная параллельна прямой y=-7x+3;
2) f(x)=vx, если эта касательная параллельна прямой y=x.

1) Для касательной, параллельной прямой $$y=-7x+3,$$ угловой коэффициент равен $$k=-7.$$

Найдём производную функции:

$$f(x)=3x^2+5x+3,$$

$$f'(x)=6x+5.$$

Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$6x+5=-7,$$

$$6x=-12,$$

$$x=-2.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(-2)=3\cdot(-2)^2+5\cdot(-2)+3=12-10+3=5.$$

Уравнение касательной:

$$y=-7(x+2)+5,$$

$$y=-7x-9.$$

2) Для функции $$f(x)=\sqrt{x}$$ касательная параллельна прямой $$y=x,$$ значит её угловой коэффициент равен $$k=1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Приравниваем к 1:

$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1,$$

$$2\sqrt{x}=1,$$

$$\sqrt{x}=\frac12,$$

$$x=\frac14.$$

Точка касания:

$$f\left(\frac14\right)=\sqrt{\frac14}=\frac12.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac12=1\left(x-\frac14\right),$$

$$y=x+\frac14.$$

Ответ

1) $$y=-7x-9$$; 2) $$y=x+\frac14$$.