Упр.40.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x-1/x^2, если эта касательная параллельна прямой y=3x;
2) f(x)=2x^3+3x^2-10x-1, если эта касательная параллельна прямой y=2x+1.

1. Если касательная параллельна прямой $$y=3x,$$ то её угловой коэффициент равен $$k=3.$$

   Для функции $$f(x)=x-\frac{1}{x^2}$$ найдём производную:

   $$f'(x)=1+2x^{-3}=1+\frac{2}{x^3}.$$

   Приравняем её к 3:

   $$1+\frac{2}{x^3}=3$$

   $$\frac{2}{x^3}=2$$

   $$x^3=1,\quad x=1.$$

   Найдём ординату точки касания:

   $$f(1)=1-\frac{1}{1^2}=0.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=3(x-1)+0,$$

   то есть

   $$y=3x-3.$$

2. Если касательная параллельна прямой $$y=2x+1,$$ то её угловой коэффициент равен $$k=2.$$

   Для функции $$f(x)=2x^3+3x^2-10x-1$$ найдём производную:

   $$f'(x)=6x^2+6x-10.$$

   Приравняем её к 2:

   $$6x^2+6x-10=2$$

   $$6x^2+6x-12=0$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)=0.$$

   Отсюда $$x_1=-2,$$ $$x_2=1.$$

   Найдём значения функции в этих точках:

   $$f(-2)=2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-10\cdot(-2)-1=15,$$

   $$f(1)=2\cdot1^3+3\cdot1^2-10\cdot1-1=-6.$$

   Уравнения касательных:

   $$y=2(x+2)+15,$$

   $$y=2(x-1)-6.$$

   После упрощения получаем:

   $$y=2x+19,$$

   $$y=2x-8.$$

Ответ

1) $$y=3x-3$$;

2) $$y=2x+19$$ и $$y=2x-8$$.