Упр.40.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 40.14. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции f(x)=1/3 x^3-x^2-3x+4.

Горизонтальная касательная к графику функции существует в тех точках, где производная равна нулю:

$$f(x)=\frac13x^3-x^2-3x+4$$

$$f'(x)=x^2-2x-3$$

Найдём точки, в которых $$f'(x)=0$$:

$$x^2-2x-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm4}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=3$$

Найдём значения функции в этих точках:

$$f(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+4=-\frac13-1+3+4=\frac{17}{3}$$

$$f(3)=\frac13\cdot27-3^2-3\cdot3+4=9-9-9+4=-5$$

Следовательно, уравнения горизонтальных касательных:

$$y=\frac{17}{3}$$

$$y=-5$$

Ответ

$$y=-5,\quad y=\frac{17}{3}$$