Упр.40.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^3-3x+1; 2) f(x)=1/2 x^4-4x^2+1.

Горизонтальная касательная к графику функции существует в тех точках, где производная равна нулю: $$f'(x)=0.$$ Затем находим соответствующие значения функции.

1. $$f(x)=x^3-3x+1$$

   $$f'(x)=3x^2-3.$$

   Найдём точки, в которых $$f'(x)=0$$:

   $$3x^2-3=0$$

   $$x^2=1$$

   $$x=\pm 1.$$

   Вычислим значения функции:

   $$f(1)=1-3+1=-1,$$

   $$f(-1)=-1+3+1=3.$$

   Следовательно, уравнения горизонтальных касательных:

   $$y=-1,\quad y=3.$$

2. $$f(x)=\frac12 x^4-4x^2+1$$

   $$f'(x)=2x^3-8x.$$

   Найдём точки, в которых $$f'(x)=0$$:

   $$2x^3-8x=0$$

   $$2x(x^2-4)=0$$

   $$2x(x-2)(x+2)=0.$$

   Отсюда

   $$x=-2,\; x=0,\; x=2.$$

   Вычислим значения функции:

   $$f(0)=1,$$

   $$f(2)=\frac12\cdot 16-4\cdot 4+1=8-16+1=-7,$$

   $$f(-2)=\frac12\cdot 16-4\cdot 4+1=8-16+1=-7.$$

   Значит, уравнения горизонтальных касательных:

   $$y=1,\quad y=-7.$$

Ответ

1) $$y=-1,\; y=3.$$

2) $$y=1,\; y=-7.$$