Упр.40.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=6-x-x^3; 2) f(x)=(5-x)/(x-3).

Угол наклона касательной к графику функции равен значению производной в точке касания. Если $$f'(x)<0$$ при всех допустимых $$x$$, то касательная образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

1. $$f(x)=6-x-x^3$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=-1-3x^2=-(1+3x^2).$$

   Так как $$1+3x^2>0$$ при любом $$x$$, то

   $$f'(x)<0.$$

   Значит, любая касательная к графику этой функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

2. $$f(x)=\frac{5-x}{x-3}$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$f'(x)=\frac{(5-x)'(x-3)-(5-x)(x-3)’}{(x-3)^2}=\frac{(-1)(x-3)-(5-x)\cdot 1}{(x-3)^2}.$$

   Упростим:

   $$f'(x)=\frac{-x+3-5+x}{(x-3)^2}=\frac{-2}{(x-3)^2}.$$

   Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$x\ne 3$$, то

   $$f'(x)<0.$$

   Следовательно, любая касательная к графику этой функции также образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.

Таким образом, утверждение доказано для обеих функций.

Ответ

Для обеих функций $$f'(x)<0$$ при всех допустимых $$x$$, значит, любая касательная образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.