Упр.40.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=v3x-x^3/3, ?=60°; 2) f(x)=x^3-2x^2+x-1, ?=45°.

1. Угол наклона касательной равен $$60^\circ$$, значит её угловой коэффициент

   $$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

   Для функции $$f(x)=\sqrt{3}x-\frac{x^3}{3}$$ найдём производную:

   $$f'(x)=\sqrt{3}-x^2.$$

   Так как касательная имеет угловой коэффициент $$\sqrt{3}$$, приравниваем:

   $$\sqrt{3}-x^2=\sqrt{3}.$$

   Отсюда

   $$x^2=0,\quad x=0.$$

   Найдём ординату точки:

   $$f(0)=\sqrt{3}\cdot 0-\frac{0^3}{3}=0.$$

   Искомая точка: $$\left(0;0\right).$$

2. Угол наклона касательной равен $$45^\circ$$, значит

   $$k=\tan 45^\circ=1.$$

   Для функции $$f(x)=x^3-2x^2+x-1$$ найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2-4x+1.$$

   Приравниваем к угловому коэффициенту касательной:

   $$3x^2-4x+1=1.$$

   Тогда

   $$3x^2-4x=0,$$

   $$x(3x-4)=0,$$

   $$x_1=0,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$

   Найдём соответствующие значения функции:

   $$f(0)=0^3-2\cdot 0^2+0-1=-1,$$

   $$f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{64}{27}-2\cdot\frac{16}{9}+\frac{4}{3}-1 =\frac{64}{27}-\frac{96}{27}+\frac{36}{27}-\frac{27}{27} =-\frac{23}{27}.$$

   Искомые точки: $$\left(0;-1\right)$$ и $$\left(\frac{4}{3};-\frac{23}{27}\right).$$

Ответ

1) $$\left(0;0\right)$$; 2) $$\left(0;-1\right),\ \left(\frac{4}{3};-\frac{23}{27}\right).$$