Упр.4.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 4.8. На множестве R заданы предикаты P(x)?{x?2}, Q(x)?(x < 5}. Укажите область истинности предиката: 1) P(x)?Q(x); 2) Q(x)?P(x).

Даны предикаты:

$$P(x)\equiv \{x\ge 2\}, \qquad Q(x)\equiv \{x<5\}.$$

Для импликации $$A\Rightarrow B$$ область истинности состоит из тех значений $$x$$, при которых либо посылка ложна, либо заключение истинно.

1. $$P(x)\Rightarrow Q(x).$$

   Импликация ложна только тогда, когда $$P(x)$$ истинно, а $$Q(x)$$ ложно:

   $$x\ge 2 \quad \text{и} \quad x\ge 5.$$

   Значит, область истинности — все $$x$$, для которых это не выполняется:

   $$x<2 \quad \text{или} \quad x<5.$$

   Итак, получаем:

   $$x\in(-\infty;5).$$

2. $$Q(x)\Rightarrow P(x).$$

   Импликация ложна только тогда, когда $$Q(x)$$ истинно, а $$P(x)$$ ложно:

   $$x<5 \quad \text{и} \quad x<2.$$

   Следовательно, область истинности — все $$x$$, для которых импликация верна:

   $$x\ge 2.$$

   То есть:

   $$x\in[2;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;5)$$; 2) $$x\in[2;+\infty).$$