Упр.4.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 4.7. На множестве R заданы предикаты P(x)?{x > 2}, Q(x)?{x > 5}. Укажите область истинности предиката: 1) P(x)?Q(x); 2) Q(x)?P(x).

Область истинности импликации $$A \Rightarrow B$$ состоит из всех значений, при которых предикат $$A$$ ложен или предикат $$B$$ истинен.

Даны предикаты:

$$P(x): x>2, \qquad Q(x): x>5.$$

1. Для $$P(x)\Rightarrow Q(x)$$ импликация ложна только тогда, когда $$P(x)$$ истинно, а $$Q(x)$$ ложно.

   Это происходит при $$x>2$$ и $$x\le 5$$, то есть при $$2<x\le 5$$.

   Значит, область истинности:

   $$x\in(-\infty;2]\cup(5;+\infty).$$

2. Для $$Q(x)\Rightarrow P(x)$$ импликация ложна только тогда, когда $$Q(x)$$ истинно, а $$P(x)$$ ложно.

   Это требует одновременно $$x>5$$ и $$x\le 2$$, что невозможно.

   Следовательно, импликация истинна при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Ответ

1) $$x\in(-\infty;2]\cup(5;+\infty)$$; 2) $$x\in\mathbb{R}.$$