Упр.4.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (A(x)?B(x))?C(x)?A(x)?(B(x)?C(x));
2) (A(x)?B(x))?C(x)?A(x)?(B(x)?C(x));
3) A(x)?(B(x)?C(x))?(A(x)?B(x))?(A(x)?C(x));
4) !(A(x)?B(x))?!A(x)?!B(x);
5) !(A(x)?B(x))?!A(x)?!B(x).

Докажем равенства с помощью таблиц истинности. Для предикатов достаточно проверить все возможные значения: $$1$$ — истина, $$0$$ — ложь.

1. $$\bigl(A(x)\cap B(x)\bigr)\cap C(x)\equiv A(x)\cap\bigl(B(x)\cap C(x)\bigr).$$

   $$A$$	$$B$$	$$C$$	$$A\cap B$$	$$B\cap C$$	$$(A\cap B)\cap C$$	$$A\cap(B\cap C)$$
   1	1	1	1	1	1	1
   1	1	0	1	0	0	0
   1	0	1	0	0	0	0
   1	0	0	0	0	0	0
   0	1	1	0	1	0	0
   0	1	0	0	0	0	0
   0	0	1	0	0	0	0
   0	0	0	0	0	0	0

2. $$\bigl(A(x)\cup B(x)\bigr)\cup C(x)\equiv A(x)\cup\bigl(B(x)\cup C(x)\bigr).$$

   $$A$$	$$B$$	$$C$$	$$A\cup B$$	$$B\cup C$$	$$(A\cup B)\cup C$$	$$A\cup(B\cup C)$$
   1	1	1	1	1	1	1
   1	1	0	1	1	1	1
   1	0	1	1	1	1	1
   1	0	0	1	0	1	1
   0	1	1	1	1	1	1
   0	1	0	1	1	1	1
   0	0	1	0	1	1	1
   0	0	0	0	0	0	0

3. $$A(x)\cup\bigl(B(x)\cap C(x)\bigr)\equiv \bigl(A(x)\cup B(x)\bigr)\cap\bigl(A(x)\cup C(x)\bigr).$$

   $$A$$	$$B$$	$$C$$	$$B\cap C$$	$$A\cup B$$	$$A\cup C$$	$$A\cup(B\cap C)$$	$$\bigl(A\cup B\bigr)\cap\bigl(A\cup C\bigr)$$
   1	1	1	1	1	1	1	1
   1	1	0	0	1	1	1	1
   1	0	1	0	1	1	1	1
   1	0	0	0	1	1	1	1
   0	1	1	1	1	1	1	1
   0	1	0	0	1	0	0	0
   0	0	1	0	0	1	0	0
   0	0	0	0	0	0	0	0

4. $$\overline{A(x)\cap B(x)}\equiv \overline{A(x)}\cup \overline{B(x)}.$$

   $$A$$	$$B$$	$$\overline{A}$$	$$\overline{B}$$	$$A\cap B$$	$$\overline{A\cap B}$$	$$\overline{A}\cup\overline{B}$$
   1	1	0	0	1	0	0
   1	0	0	1	0	1	1
   0	1	1	0	0	1	1
   0	0	1	1	0	1	1

5. $$\overline{A(x)\cup B(x)}\equiv \overline{A(x)}\cap \overline{B(x)}.$$

   $$A$$	$$B$$	$$\overline{A}$$	$$\overline{B}$$	$$A\cup B$$	$$\overline{A\cup B}$$	$$\overline{A}\cap\overline{B}$$
   1	1	0	0	1	0	0
   1	0	0	1	1	0	0
   0	1	1	0	1	0	0
   0	0	1	1	0	1	1

Ответ

Все равенства верны.