Упр.4.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

A(x)?{-x^2=2}; C(x)?{[x] > x};
B(x)?{(x-3)^2 > 0}; D(x)?{(x-3)/(x-3)=1}.

Подробный ответ

Рассмотрим каждый предикат на множестве $$\mathbb{R}$$.

1) $$A(x): -x^2=2.$$

Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$-x^2 \le 0$$. Равенство $$-x^2=2$$ невозможно, значит предикат ложен при любом $$x \in \mathbb{R}$$.

2) $$C(x): [x] > x.$$

Здесь $$[x]$$ — целая часть числа $$x$$. Для любого нецелого числа $$x$$ выполняется $$[x] < x$$, а для целого числа $$[x]=x$$. Следовательно, неравенство $$[x] > x$$ никогда не выполняется, то есть предикат тоже ложен при любом $$x \in \mathbb{R}$$.

Значит, предикаты $$A(x)$$ и $$C(x)$$ равносильны.

3) $$B(x): (x-3)^2>0.$$

Квадрат числа положителен при всех $$x$$, кроме $$x=3$$, поэтому $$B(x)$$ истинно при всех $$x \ne 3$$.

4) $$D(x): \dfrac{x-3}{x-3}=1.$$

Дробь определена только при $$x \ne 3$$, и тогда

$$\dfrac{x-3}{x-3}=1.$$

Значит, предикат $$D(x)$$ также истинно при всех $$x \ne 3$$ и ложен при $$x=3$$.

Следовательно, предикаты $$B(x)$$ и $$D(x)$$ равносильны.