Упр.39.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=vx-16x, x_0=1/4; 3) f(x)=x^(-2)-4x^(-3), x_0=2;
2) f(x)=cos(x)/(1-x), x_0=0; 4) f(x)=(2x^2-3x-1)/(x+1), x_0=1.
$$f(x)=\sqrt{x}-16x,\quad x_0=\frac14$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-16$$
Подставим $$x_0=\frac14$$:
$$f’\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\cdot \frac12}-16=1-16=-15$$
$$f(x)=\frac{\cos x}{1-x},\quad x_0=0$$
По правилу производной частного:
$$f'(x)=\frac{-\sin x(1-x)+\cos x}{(1-x)^2}$$
Упростим числитель:
$$f'(x)=\frac{x\sin x-\sin x+\cos x}{(1-x)^2}$$
Подставим $$x_0=0$$:
$$f'(0)=\frac{0-0+1}{(1-0)^2}=1$$
$$f(x)=x^{-2}-4x^{-3},\quad x_0=2$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-2x^{-3}-4\cdot(-3)x^{-4}=-\frac{2}{x^3}+\frac{12}{x^4}=\frac{12-2x}{x^4}$$
Подставим $$x_0=2$$:
$$f'(2)=\frac{12-4}{2^4}=\frac{8}{16}=\frac12$$
$$f(x)=\frac{2x^2-3x-1}{x+1},\quad x_0=1$$
По правилу производной частного:
$$f'(x)=\frac{(4x-3)(x+1)-(2x^2-3x-1)}{(x+1)^2}$$
Упростим числитель:
$$f'(x)=\frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x+1}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+4x-2}{(x+1)^2}$$
Подставим $$x_0=1$$:
$$f'(1)=\frac{2+4-2}{2^2}=1$$
Ответ
1) $$-15$$; 2) $$1$$; 3) $$\frac12$$; 4) $$1$$.
