Упр.39.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=(2-3x)/(x+2), x_0=-3; 3) f(x)=3x^(1/3)-10x^(1/5), x_0=1;
2) f(x)=(1+3x)vx, x_0=9; 4) f(x)=x sin(x), x_0=0?

1. $$f(x)=\frac{2-3x}{x+2}, \quad x_0=-3.$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$ f'(x)=\frac{(-3)(x+2)-(2-3x)\cdot 1}{(x+2)^2} $$

   Упростим:

   $$ f'(x)=\frac{-3x-6-2+3x}{(x+2)^2}=\frac{-8}{(x+2)^2} $$

   Подставим $$x=-3$$:

   $$ f'(-3)=\frac{-8}{(-3+2)^2}=\frac{-8}{1}=-8 $$

2. $$f(x)=(1+3x)\sqrt{x}, \quad x_0=9.$$

   Используем правило производной произведения:

   $$ f'(x)=3\sqrt{x}+(1+3x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ f'(x)=\frac{6x+1+3x}{2\sqrt{x}}=\frac{9x+1}{2\sqrt{x}} $$

   Подставим $$x=9$$:

   $$ f'(9)=\frac{9\cdot 9+1}{2\sqrt{9}}=\frac{82}{6}=\frac{41}{3} $$

3. $$f(x)=3\sqrt[3]{x}-10\sqrt[5]{x}, \quad x_0=1.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=3\cdot \frac{1}{3}x^{-2/3}-10\cdot \frac{1}{5}x^{-4/5} $$

   $$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}-\frac{2}{\sqrt[5]{x^4}} $$

   Подставим $$x=1$$:

   $$ f'(1)=1-2=-1 $$

4. $$f(x)=x\sin x, \quad x_0=0.$$

   По правилу производной произведения:

   $$ f'(x)=\sin x+x\cos x $$

   Подставим $$x=0$$:

   $$ f'(0)=\sin 0+0\cdot \cos 0=0 $$

Ответ

1) $$-8$$; 2) $$\frac{41}{3}$$; 3) $$-1$$; 4) $$0$$.