Упр.39.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Найдите производную функции:

1. 1) $$y=\frac{3x+5}{x-8}$$; 3) $$y=\frac{\sin x}{x}$$; 2) $$y=\frac{2x^2}{1-6x}$$; 4) $$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$.

Найдём производные по правилу производной частного:

$$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}.$$

1. $$y=\frac{3x+5}{x-8}$$

   $$y’=\frac{3(x-8)-(3x+5)\cdot 1}{(x-8)^2}=\frac{3x-24-3x-5}{(x-8)^2}=-\frac{29}{(x-8)^2}.$$

2. $$y=\frac{2x^2}{1-6x}$$

   $$y’=\frac{(2x^2)'(1-6x)-2x^2(1-6x)’}{(1-6x)^2}=\frac{4x(1-6x)-2x^2(-6)}{(1-6x)^2}.$$

   $$y’=\frac{4x-24x^2+12x^2}{(1-6x)^2}=\frac{4x-12x^2}{(1-6x)^2}.$$

3. $$y=\frac{\sin x}{x}$$

   $$y’=\frac{(\sin x)’\cdot x-\sin x\cdot x’}{x^2}=\frac{\cos x\cdot x-\sin x}{x^2}.$$

4. $$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$$

   $$y’=\frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}$$

   $$y’=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x\bigl((x^2+1)-(x^2-1)\bigr)}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}.$$

Ответ:

1) $$y’=-\frac{29}{(x-8)^2}$$; 2) $$y’=\frac{4x-12x^2}{(1-6x)^2}$$; 3) $$y’=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$; 4) $$y’=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$$.