Упр.39.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 39.32. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ S=4^30-2В·4^29+3В·4^28-…+29В·4^2-30В·4.

Рассмотрим сумму

$$S=4^{30}-2\cdot 4^{29}+3\cdot 4^{28}-\dots+29\cdot 4^2-30\cdot 4.$$

Вынесем общий множитель $$4^{30}$$:

$$S=4^{30}\left(1-\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}-\frac{4}{4^3}+\dots+\frac{29}{4^{28}}-\frac{30}{4^{29}}\right).$$

Удобно рассмотреть функцию

$$f(x)=4^{30}\left(-1+x-x^2+x^3-\dots+x^{29}-x^{30}\right).$$

Тогда

$$f(x)=4^{30}\cdot \frac{(-x)^{31}-1}{-x-1}=-4^{30}\cdot \frac{x^{31}+1}{x+1}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=-4^{30}\cdot \frac{31x^{30}(x+1)-(x^{31}+1)}{(x+1)^2}$$

$$f'(x)=-4^{30}\cdot \frac{30x^{31}+31x^{30}-1}{(x+1)^2}.$$

Подставим $$x=\frac14$$:

$$S=f’\left(\frac14\right)=-4^{30}\cdot \frac{30\cdot 4^{-31}+31\cdot 4^{-30}-1}{\left(\frac14+1\right)^2}.$$

Упростим:

$$S=-\frac{30\cdot 4^{-1}+31-4^{30}}{\left(\frac54\right)^2}\cdot 4^{30}$$

$$S=\frac{4^{32}-616}{25}.$$

Ответ

$$\frac{4^{32}-616}{25}$$