Упр.39.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 39.31. Вычислите СЃСѓРјРјСѓ S=100В·3^99+98В·3^97+96В·3^95+…+2В·3.

Рассмотрим функцию

$$f(x)=x^{100}+x^{98}+x^{96}+\dots+x^2+1.$$

Тогда

$$f(x)=\frac{x^{102}-1}{x^2-1}.$$

Найдём производную по правилу производной частного:

$$ f'(x)=\frac{102x^{101}(x^2-1)-2x(x^{102}-1)}{(x^2-1)^2}. $$

Упростим числитель:

$$ f'(x)=\frac{102x^{103}-102x^{101}-2x^{103}+2x}{(x^2-1)^2} =\frac{100x^{103}-102x^{101}+2x}{(x^2-1)^2}. $$

Заметим, что

$$ S=100\cdot 3^{99}+98\cdot 3^{97}+\dots+2\cdot 3=f'(3). $$

Подставим $$x=3$$:

$$ S=f'(3)=\frac{100\cdot 3^{103}-102\cdot 3^{101}+2\cdot 3}{(3^2-1)^2}. $$

Вынесем $$3$$ в числителе:

$$ S=\frac{3\left(100\cdot 3^{102}-102\cdot 3^{100}+2\right)}{64} =\frac{3\left(100\cdot 9\cdot 3^{100}-102\cdot 3^{100}+2\right)}{64}. $$

Тогда

$$ S=\frac{3\left((900-102)3^{100}+2\right)}{64} =\frac{3\left(798\cdot 3^{100}+2\right)}{64} =\frac{2394\cdot 3^{100}+6}{64}. $$

Ответ

$$\frac{2394\cdot 3^{100}+6}{64}$$