Упр.39.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Функции $$f$$ и $$g$$ определены на $$\mathbb{R}$$. Что можно утверждать о дифференцируемости функции $$y=f(x)g(x)$$ в точке $$x_0$$, если:

1. $$f$$ дифференцируема в точке $$x_0$$, а $$g$$ — нет;
2. $$f$$ и $$g$$ не дифференцируемы в точке $$x_0$$?

1) Нельзя сделать однозначный вывод о дифференцируемости произведения $$y=f(x)g(x)$$ в точке $$x_0$$.

Действительно, возможны оба случая:

• если $$f(x)=1$$, $$g(x)=|x|$$, то $$y=|x|$$, и функция не дифференцируема в точке $$x_0=0$$;
• если $$f(x)=0$$, $$g(x)=|x|$$, то $$y=0$$, и функция дифференцируема в любой точке.

2) Если функции $$f$$ и $$g$$ не дифференцируемы в точке $$x_0$$, то и здесь возможны оба случая.

Например:

• если $$f(x)=|x|$$, $$g(x)=|x|$$, то $$y=x^2$$, а эта функция дифференцируема;
• если
  $$f(x)= \begin{cases} -1, & x<0,\\ 2, & x\ge 0, \end{cases} \qquad g(x)=|x|,$$
  то
  $$y=f(x)g(x)= \begin{cases} -|x|, & x<0,\\ 2|x|, & x\ge 0, \end{cases}$$
  и эта функция не дифференцируема в точке $$x_0=0$$.

Ответ: в обоих пунктах возможны оба случая: функция $$y=f(x)g(x)$$ может как быть дифференцируемой в точке $$x_0$$, так и не быть дифференцируемой.