Упр.39.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f дифференцируема в точке x_0, a g — нет;
2) f и g не дифференцируемы в точке x_0?

1) Если одна из функций дифференцируема в точке $$x_0$$, а другая нет, то о дифференцируемости произведения $$y=f(x)g(x)$$ однозначно сказать нельзя.

Например:

$$f(x)=1,\quad g(x)=|x|.$$

Тогда $$f$$ дифференцируема в любой точке, а $$g$$ не дифференцируема при $$x_0=0$$. Но

$$y=f(x)g(x)=|x|,$$

и эта функция не дифференцируема в точке $$0$$.

С другой стороны,

$$f(x)=0,\quad g(x)=|x|.$$

Здесь $$g$$ также не дифференцируема при $$x_0=0$$, но

$$y=f(x)g(x)=0,$$

а постоянная функция дифференцируема всюду.

Значит, возможны оба случая.

2) Если обе функции $$f$$ и $$g$$ не дифференцируемы в точке $$x_0$$, то и здесь о произведении нельзя сделать однозначный вывод.

Например:

$$f(x)=|x|,\quad g(x)=|x|.$$

Тогда обе функции не дифференцируемы при $$x_0=0$$, но

$$y=f(x)g(x)=|x|\cdot|x|=x^2,$$

а функция $$x^2$$ дифференцируема в любой точке.

С другой стороны, можно взять

$$f(x)=\begin{cases}-1,& x<0,\\ 2,& x\ge 0,\end{cases}\qquad g(x)=|x|.$$

Обе функции не дифференцируемы в точке $$0$$, а их произведение

$$y=f(x)g(x)=\begin{cases}-|x|,& x<0,\\ 2|x|,& x\ge 0,\end{cases}$$

не дифференцируемо в точке $$0$$.

Следовательно, и во втором случае возможны оба варианта.

Ответ

1) Возможны оба случая: произведение $$f(x)g(x)$$ может быть как дифференцируемым, так и недифференцируемым в точке $$x_0$$.

2) Также возможны оба случая: произведение $$f(x)g(x)$$ может быть как дифференцируемым, так и недифференцируемым в точке $$x_0$$.