Упр.39.29 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f дифференцируема в точке x_0, a g — нет;
2) f и g не дифференцируемы в точке x_0?

1) Предположим, что функция $$y=f(x)+g(x)$$ дифференцируема в точке $$x_0$$. Тогда и функция

$$p(x)=y(x)-f(x)$$

тоже должна быть дифференцируема в точке $$x_0$$ как разность дифференцируемых функций. Но

$$p(x)=g(x),$$

а по условию функция $$g$$ в точке $$x_0$$ не дифференцируема. Противоречие. Значит, $$y=f+g$$ в точке $$x_0$$ не дифференцируема.

2) Если обе функции $$f$$ и $$g$$ не дифференцируемы в точке $$x_0$$, то о функции $$y=f+g$$ нельзя сделать однозначный вывод: возможны оба случая.

Например, пусть

$$f(x)=|x|,\quad g(x)=|x|.$$

Тогда

$$y(x)=f(x)+g(x)=2|x|,$$

и функция не дифференцируема в точке $$x_0=0$$.

А если

$$f(x)=|x|,\quad g(x)=-|x|,$$

то

$$y(x)=f(x)+g(x)=0,$$

и эта функция дифференцируема в любой точке.

Ответ

1) $$y=f(x)+g(x)$$ не дифференцируема в точке $$x_0$$.
2) Возможны оба случая: сумма может быть как дифференцируемой, так и недифференцируемой в точке $$x_0$$.