Упр.39.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Докажите, что производная нечётной функции является чётной функцией. Приведите примеры.

Пусть $$f(x)$$ — нечётная функция. Тогда для любого $$x$$ из области определения выполняется

$$f(-x)=-f(x).$$

Дифференцируем это равенство по $$x$$:

$$\frac{d}{dx}f(-x)=\frac{d}{dx}\bigl(-f(x)\bigr).$$

По правилу дифференцирования сложной функции получаем

$$-f'(-x)=-f'(x).$$

Следовательно,

$$f'(-x)=f'(x).$$

Значит, производная нечётной функции является чётной функцией.

Примеры:

• $$f(x)=x^3,\quad f'(x)=3x^2$$ — чётная функция;
• $$f(x)=\sin x,\quad f'(x)=\cos x$$ — чётная функция;
• $$f(x)=\frac{1}{x},\quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}$$ — чётная функция.

Ответ: производная нечётной функции — чётная функция.