Упр.39.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 39.28. Докажите, что производная нечётной функции является чётной функцией. Приведите примеры.

Пусть $$f(x)$$ — нечётная функция. Тогда по определению

$$f(-x)=-f(x).$$

Дифференцируем это равенство по $$x$$:

$$\bigl(f(-x)\bigr)’=\bigl(-f(x)\bigr)’.$$

По правилу дифференцирования сложной функции и производной произведения на константу получаем:

$$f'(-x)\cdot(-1)=-f'(x).$$

Следовательно,

$$f'(-x)=f'(x).$$

Значит, производная нечётной функции является чётной функцией.

Примеры:

• $$f(x)=x^3,\quad f'(x)=3x^2;$$
• $$f(x)=\sin x,\quad f'(x)=\cos x;$$
• $$f(x)=\tg x,\quad f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x};$$
• $$f(x)=\frac{1}{x},\quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}.$$

Во всех этих случаях производная — чётная функция.

Ответ

Если $$f(x)$$ — нечётная функция, то $$f(-x)=-f(x)$$. Дифференцируя, получаем $$f'(-x)=f'(x)$$, то есть $$f'(x)$$ — чётная функция.