Упр.39.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что производная чётной функции является нечётной функцией. Приведите примеры.

Пусть $$f(x)$$ — чётная функция. Тогда для всех $$x$$ из области определения выполняется

$$f(-x)=f(x).$$

Дифференцируем это равенство по $$x$$:

$$\bigl(f(-x)\bigr)’=\bigl(f(x)\bigr)’.$$

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

$$f'(-x)\cdot(-1)=f'(x),$$

то есть

$$f'(-x)=-f'(x).$$

Следовательно, производная чётной функции является нечётной функцией.

Примеры:

• $$y=\frac{1}{x^2}, \qquad y’=-\frac{2}{x^3};$$
• $$y=\sin^2 x, \qquad y’=\sin 2x;$$
• $$y=\cos x, \qquad y’=-\sin x;$$
• $$y=-5x^2, \qquad y’=-10x.$$

Ответ: производная чётной функции — нечётная функция.