Упр.39.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 39.27. Докажите, что производная чётной функции является нечётной функцией. Приведите примеры.

Пусть $$f(x)$$ — чётная функция. Тогда для всех $$x$$ из области определения выполняется

$$f(-x)=f(x).$$

Дифференцируем это равенство по $$x$$:

$$\bigl(f(-x)\bigr)’=\bigl(f(x)\bigr)’.$$

По правилу дифференцирования сложной функции получаем

$$f'(-x)\cdot(-1)=f'(x),$$

то есть

$$f'(-x)=-f'(x).$$

Следовательно, производная чётной функции является нечётной функцией.

Примеры:

• $$f(x)=x^2,\quad f'(x)=2x;$$
• $$f(x)=\cos x,\quad f'(x)=-\sin x;$$
• $$f(x)=\dfrac{1}{x^2},\quad f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}.$$

Ответ

Если $$f(x)$$ — чётная функция, то $$f(-x)=f(x)$$, откуда после дифференцирования получаем $$f'(-x)=-f'(x)$$. Значит, $$f'(x)$$ — нечётная функция.