Упр.39.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 39.26. Докажите, что производная периодической функции является периодической функцией. Приведите примеры.

Пусть функция $$f(x)$$ периодическая с периодом $$T$$, то есть для всех $$x$$ из области определения выполняется

$$f(x+T)=f(x).$$

Тогда для производной имеем:

$$ f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}. $$

Так как $$f(x+T)=f(x)$$ и $$f(x+T+\Delta x)=f(x+\Delta x)$$, то

$$ f'(x+T)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x). $$

Значит, $$f'(x+T)=f'(x)$$, то есть производная периодической функции также является периодической функцией с тем же периодом $$T$$.

Примеры:

• если $$f(x)=\sin x$$, то $$f'(x)=\cos x$$;
• если $$f(x)=\cos x$$, то $$f'(x)=-\sin x$$;
• если $$f(x)=\tg x$$, то $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$;
• если $$f(x)=\ctg x$$, то $$f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2 x}$$.

Ответ

Производная периодической функции является периодической функцией с тем же периодом.