Упр.39.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

В точках $$x_1=-2$$ и $$x_2=2$$ найдите производную функции:

1. $$f(x)=x^2-6|x|+5$$;
2. $$f(x)=|x^2-6x+5|$$.

1) $$f(x)=x^2-6|x|+5$$

При $$x=-2$$ имеем $$x<0$$, значит $$|x|=-x$$ и

$$f(x)=x^2+6x+5,\qquad f'(x)=2x+6.$$

Тогда

$$f'(-2)=2\cdot(-2)+6=2.$$

При $$x=2$$ имеем $$x>0$$, значит $$|x|=x$$ и

$$f(x)=x^2-6x+5,\qquad f'(x)=2x-6.$$

Тогда

$$f'(2)=2\cdot2-6=-2.$$

Ответ: $$2;\,-2.$$

2) $$f(x)=|x^2-6x+5|=|(x-1)(x-5)|$$

При $$x=-2$$ выражение $$x^2-6x+5>0$$, поэтому

$$f(x)=x^2-6x+5,\qquad f'(x)=2x-6.$$

Тогда

$$f'(-2)=2\cdot(-2)-6=-10.$$

При $$x=2$$ выражение $$x^2-6x+5<0$$, поэтому

$$f(x)=-(x^2-6x+5)=-x^2+6x-5,\qquad f'(x)=-2x+6.$$

Тогда

$$f'(2)=-2\cdot2+6=2.$$

Ответ: $$-10;\,2.$$