Упр.39.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) делает замену 2x=t и получает функцию y=sin(t);
2) далее пишет: y’=(sin(t))’=cos(t);
3) потом подставляет зпачение 2x=t и делает вывод, что (sin(2x))’=cos(2x).
В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика в том, что при замене $$2x=t$$ он не учёл, что $$t$$ зависит от $$x$$. Поэтому нельзя просто найти производную функции $$y=\sin t$$ по переменной $$t$$ и сразу подставить $$t=2x$$.

Нужно применять правило производной сложной функции:

$$ y=\sin(2x) $$
$$ y’=(\sin(2x))’=\cos(2x)\cdot(2x)’=2\cos(2x). $$

Значит, ученик пропустил множитель $$2$$, который появляется при дифференцировании внутренней функции $$2x$$.

Ответ

Ошибка в том, что не была найдена производная внутренней функции $$2x$$; правильно: $$\left(\sin(2x)\right)’=2\cos(2x)$$.