Упр.39.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Ученик предлагает находить производную функции $$y=\sin(2x)$$ так: 1) делает замену $$2x=t$$ и получает функцию $$y=\sin(t)$$; 2) далее пишет: $$y’=(\sin(t))’=\cos(t)$$; 3) потом подставляет значение $$2x=t$$ и делает вывод, что $$(\sin(2x))’=\cos(2x)$$. В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика в том, что он не учёл производную внутренней функции $$t=2x.$$

Если $$y=\sin(2x),$$ то нужно применять правило производной сложной функции:

$$y’=(\sin t)’ \cdot t’=\cos t \cdot 2=2\cos 2x.$$

Ученик же написал только производную внешней функции $$\sin t,$$ получив $$\cos t,$$ и забыл умножить на $$t’=(2x)’=2.$$

Ответ

Ошибка в том, что не найдена производная внутренней функции $$2x.$$ Правильно: $$\left(\sin 2x\right)’=2\cos 2x.$$