Упр.39.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f'(0), если f(x)=√((x-1)/(2x-1));
2) f'(0), если f(x)=(cos(3x)+6)^3.

1. $$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}, \quad x_0=0.$$

   Найдём производную по правилу цепочки:

   $$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}}\cdot \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)’. $$

   Вычислим производную дроби:

   $$ \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)’=\frac{(2x-1)\cdot 1-(x-1)\cdot 2}{(2x-1)^2} =\frac{2x-1-2x+2}{(2x-1)^2} =\frac{1}{(2x-1)^2}. $$

   Тогда

   $$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}}\cdot \frac{1}{(2x-1)^2}. $$

   Подставим $x=0$:

   $$ f'(0)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{-1}{-1}}}\cdot \frac{1}{(-1)^2} =\frac{1}{2\cdot 1}\cdot 1 =\frac12. $$

2. $$f(x)=(\cos 3x+6)^3, \quad x_0=0.$$

   По правилу цепочки:

   $$ f'(x)=3(\cos 3x+6)^2\cdot (\cos 3x)’. $$

   Так как

   $$ (\cos 3x)’=-3\sin 3x, $$

   то

   $$ f'(x)=-9\sin 3x\,(\cos 3x+6)^2. $$

   Подставим $x=0$:

   $$ f'(0)=-9\sin 0\,( \cos 0+6)^2= -9\cdot 0\cdot 7^2=0. $$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$0$$.