Упр.39.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=cos^3(2x); 2) y=vsin(x/5-?/4);
3) y=(sin(x/3)-5)^6.

1. $$y=\cos^3 2x$$
   
   Применим правило производной сложной функции:
   $$y’ = 3\cos^2 2x \cdot (\cos 2x)’$$
   $$ (\cos 2x)’ = -2\sin 2x $$
   Тогда
   $$y’ = 3\cos^2 2x \cdot (-2\sin 2x) = -6\cos^2 2x \sin 2x.$$
2. $$y=\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}$$
   Запишем как степень:
   $$y=\left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac12}$$
   Тогда
   $$y’=\frac12\left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{-\frac12}\cdot \cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \frac15$$
   Следовательно,
   $$y’=\frac{\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}{10\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}}.$$
3. $$y=\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6$$
   По правилу производной сложной функции:
   $$y’=6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5\cdot \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)’$$
   $$\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)’=\cos\frac{x}{3}\cdot \frac13$$
   Тогда
   $$y’=6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5\cdot \frac13\cos\frac{x}{3}$$
   $$y’=2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5.$$

Ответ

$$1)\ y’=-6\cos^2 2x\sin 2x;$$
$$2)\ y’=\frac{\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}{10\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}};$$
$$3)\ y’=2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5.$$