Упр.39.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите производную функции: 1) $$y=\cos^3(2x)$$; 2) $$y=vsin\left(\frac{x}{5}-\frac{?}{4}\right)$$; 3) $$y=\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6$$.

1) $$y=\cos^3 2x$$

По правилу дифференцирования сложной функции:

$$y’ = 3\cos^2 2x \cdot (\cos 2x)’ = 3\cos^2 2x \cdot (-2\sin 2x)$$

$$y’=-6\cos^2 2x\sin 2x$$

2) $$y=\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}$$

Представим корень как степень:

$$y=\left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{\frac12}$$

Тогда

$$y’=\frac12\left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)^{-\frac12}\cdot \cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \frac15$$

$$y’=\frac{\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}{10\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}}$$

3) $$y=\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6$$

По правилу цепочки:

$$y’=6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5\cdot \left(\sin\frac{x}{3}\right)’$$

$$y’=6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5\cdot \cos\frac{x}{3}\cdot \frac13$$

$$y’=2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5$$

Ответ

$$1)\; y’=-6\cos^2 2x\sin 2x; \qquad 2)\; y’=\frac{\cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}{10\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}}; \qquad 3)\; y’=2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5.$$