Упр.39.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=xv(x+3); 2) y=sin(2x)cos(x);
3) y=(x+2)^5 (x-3)^4.

1. $$y=x\sqrt{x+3}$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=(x)’\sqrt{x+3}+x\left(\sqrt{x+3}\right)’$$

   $$y’=\sqrt{x+3}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{2x+6+x}{2\sqrt{x+3}}=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$$

2. $$y=\sin 2x\cos x$$

   По правилу производной произведения:

   $$y’=(\sin 2x)’\cos x+\sin 2x(\cos x)’$$

   $$y’=2\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x$$

   Используем формулы приведения:

   $$2\cos 2x\cos x=\cos 3x+\cos x$$

   $$2\sin 2x\sin x=\cos x-\cos 3x$$

   Тогда

   $$y’=\cos 3x+\frac12(\cos x+\cos 3x)=\frac32\cos 3x+\frac12\cos x$$

3. $$y=(x+2)^5(x-3)^4$$

   Применим правило производной произведения:

   $$y’=5(x+2)^4(x-3)^4+4(x-3)^3(x+2)^5$$

   Вынесем общий множитель:

   $$y’=(x-3)^3(x+2)^4\bigl(5(x-3)+4(x+2)\bigr)$$

   $$y’=(x-3)^3(x+2)^4(5x-15+4x+8)$$

   $$y’=(x-3)^3(x+2)^4(9x-7)$$

Ответ

1) $$y’=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$$; 2) $$y’=\frac32\cos 3x+\frac12\cos x$$; 3) $$y’=(x-3)^3(x+2)^4(9x-7)$$.